Тип 16 № 22710

Решение:

$$(*) \quad x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$

Преобразуем числитель:

$$2^{3x} - 2\cdot4^{x + 1} + 5\cdot2^{x + 2} - 16 =$$

$$= (2^x)^3 - 2\cdot(2^2)^{x + 1} + 5\cdot2^x\cdot2^2 - 16 =$$

$$= (2^x)^3 - 2\cdot2^{2x + 2} + 20\cdot2^x - 16 =$$

$$= (2^x)^3 - 8\cdot(2^x)^2 + 20\cdot2^x - 16$$

Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда числитель примет вид:

$$t^3 - 8t^2 + 20t - 16$$ $$t^3 - 8t^2 + 20t - 16 = (t - 2)(t^2 - 6t + 8) = (t - 2)(t - 2)(t - 4) = (t - 2)^2(t - 4)$$

Таким образом, исходное неравенство равносильно:

$$\frac{(2^x - 2)^2(2^x - 4)}{x - 1} \geq 0$$

По методу рационализации: $$\frac{(x - 1)^2(x - 2)}{x - 1} \geq 0$$

Решим методом интервалов:

Получаем: $$x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; 1) \cup [2; +\infty)$