Тип 14 № 20894

Решение. а) Преобразуем уравнение:

$$\begin{aligned} \cos 2x+\sqrt{3}\sin(x+\pi)-1=0 &\Longleftrightarrow 1-2\sin^2x-\sqrt{3}\sin x-1=0 \\ &\Longleftrightarrow 2\sin^2x+\sqrt{3}\sin x=0 \\ &\Longleftrightarrow \sin x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0 \\ &\Longleftrightarrow \begin{cases} \sin x=0,\ \\ \displaystyle \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases} \end{aligned}$$

Следовательно,

$$\begin{cases} x=\pi k,\ \\ \displaystyle x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ \\ \displaystyle x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k, \end{cases} \qquad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку

$$\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right].$$

На указанном отрезке находятся числа

$$2\pi,\qquad 3\pi,\qquad \frac{10\pi}{3}.$$

Ответ:

$$а) \left\{ \pi k;\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ -\frac{2\pi}{3}+2\pi k \mathrel{\big|} k\in\mathbb Z \right\};$$

$$б) 2\pi,\quad 3\pi,\quad \frac{10\pi}{3}.$$