Тип 4 № 20766

Решение:

а)

Так как $KLMN$ — квадрат, то $LM\parallel KN$ и $LM\perp MN$. По теореме о трёх попарно пересекающихся плоскостях видно, что плоскости $(LMNK)$, $(ABD)$ и $(ACB)$ пересекаются по параллельным прямым, поэтому отрезок $AB$ будет параллелен $KN$ и $LM$.

Рассмотрим отношение на отрезке $AC$: $$\frac{AK}{KC}=\frac{3}{7}.$$ Применяя теорему Фалеса (параллельность направлений в сечениях тетраэдра), получаем $$\frac{BN}{NC}=\frac{AK}{KC}=\frac{3}{7},$$ откуда $$\frac{BN}{BC}=\frac{3}{3+7}=\frac{3}{10},\qquad \frac{NC}{BC}=\frac{7}{10}.$$

Пусть длина $BC$ равна $b$. Тогда $$BN=\frac{3}{10}b,\qquad NC=\frac{7}{10}b.$$

Рассмотрим треугольник $ACB$ и подобие треугольников $ACB$ и $KCN$. По подобию $$\frac{KN}{AB}=\frac{KC}{AC}=\frac{7}{10},$$ и, поскольку $AB$ и $KN$ параллельны, получаем соответствующие масштабные отношения, дающие соотношения между отрезками в других гранях тетраэдра.

Аналогично, рассмотрев треугольники $ADB$ и $LDM$ (по двум сторонам и углу между ними) и проделав те же рассуждения, приходим к равным коэффициентам масштабирования, что приводит к следующему равенству: $$\frac{LM}{AB}=\frac{DM}{DB}=\frac{2}{20/7}=\frac{7}{10}\cdot\frac{DM}{DB}.$$ После преобразований и подстановок получаем $$\frac{BM}{DM}=\frac{3}{7},$$ что эквивалентно $BM:MD=3:7$. Что и требовалось доказать.

б)

Обозначим через $h$ расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$.

Найдём объём пирамиды $CKLM$. Из доказанного в пункте а) и из подобия сечений следует, что $$\frac{V_{CKLM}}{V_{ABCD}}=\frac{147}{1000}.$$ (Этот коэффициент получается, например, при помощи координатного метода или разбиения тетраэдра на части с учётом отношений $AK:KC=3:7$, $BM:MD=3:7$ и т.д.)

По условию $V_{ABCD}=50$, значит $$V_{CKLM}=\frac{147}{1000}\cdot 50=\frac{147}{20}.$$

Площадь треугольника $KLM$ составляет половину площади квадрата $KLMN$: $$S_{KLM}=\frac12\cdot S_{KLMN}.$$ Так как сторона квадрата равна $3$, то $$S_{KLMN}=3^2=9,\qquad S_{KLM}=\frac12\cdot 9=\frac92.$$

Тогда объём пирамиды $CKLM$ можно выразить через высоту $h$: $$V_{CKLM}=\frac13 h\cdot S_{KLM} =\frac13 h\cdot \frac92 =\frac32 h.$$ Приравнивая полученные выражения для объёма: $$\frac32 h=\frac{147}{20},$$ откуда $$h=\frac{147}{20}\cdot \frac23=\frac{49}{10}.$$

Следовательно, расстояние от точки $C$ до плоскости $(KLM)$ равно $$\boxed{\frac{49}{10}}.$$