Тип 15 № 18141

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$:

Основание $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB = 6$, $AD = 8$.

Диагонали пересекаются в точке $O$.

Плоскость через $AC$, параллельная $B_1D$, пересекает $BB_1$ в точке $K$.

Угол между плоскостями $ABC$ и $ACK$ равен $45^\circ$.

1. []a) Доказательство неравенства угла:

2. Найдём высоту $BH$ треугольника $ABC$: $$BH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8$$

3. Из условия $\angle KHB = 45^\circ$ следует: $$KB = BH = 4.8$$ $$BO = \frac{AC}{2} = 5$$

4. В треугольнике $KOB$: $$\frac{KB}{BO} = \frac{4.8}{5} = 0.96 < 1$$

Следовательно, $\angle KOB < 45^\circ$.

1. [] б) Вычисление объёма параллелепипеда:

2. Из параллельности $KO \parallel B_1D$ следует: $$BB_1 = 2BK = 2BH = 9.6$$

3. Объём параллелепипеда: $$V = AB \cdot BC \cdot BB_1 = 6 \cdot 8 \cdot 9.6 = 460.8$$

Или в дробном виде: $$V = \frac{48}{5} \cdot 48 = \frac{2304}{5}$$

Ответ:

а) Угол $KOB$ действительно меньше $45^\circ$.

б) Объём параллелепипеда равен $$\frac{2304}{5}.$$