Тип 14 № 15797

а) (*): $x \neq 0$ (так как логарифмы определены при положительных аргументах, а $x^4>0$ и $x^8>0$ при $x \neq 0$).

Преобразуем логарифмы: $$\log_{25}^2(x^4) = \left(\log_{25}(x^4)\right)^2 = \left(4\log_{25}|x|\right)^2 = 16\left(\log_{25}|x|\right)^2.$$ $$\log_{0,2}(x^8) = \log_{1/5}(x^8) = 8\log_{1/5}|x| = 8\cdot\left(-\log_{5}|x|\right) = -8\log_{5}|x|.$$

Так как $\log_{25}|x| = \frac{\log_{5}|x|}{\log_{5}25} = \frac{\log_{5}|x|}{2}$, получаем: $$\log_{25}^2(x^4) = 16\left(\frac{\log_{5}|x|}{2}\right)^2 = 16\cdot\frac{(\log_{5}|x|)^2}{4} = 4(\log_{5}|x|)^2.$$

Подставляем в уравнение: $$4(\log_{5}|x|)^2 - 8\log_{5}|x| + 3 = 0.$$

Замена $t = \log_{5}|x|$: $$4t^2 - 8t + 3 = 0.$$ $$D = 64 - 48 = 16, \quad \sqrt{D} = 4.$$ $$t = \frac{8 \pm 4}{8}.$$ $$t_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}, \quad t_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$

Возвращаемся к $|x|$: $$\log_{5}|x| = \frac{3}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = 5^{3/2} = \sqrt{5^3} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}.$$ $$\log_{5}|x| = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = 5^{1/2} = \sqrt{5}.$$

Таким образом: $$x = \pm 5\sqrt{5}, \quad x = \pm \sqrt{5}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-2,3; 11,3]$ с помощью неравенств:

1. $x = -5\sqrt{5} \approx -11,180$: $$-2,3 \leq -5\sqrt{5} \leq 11,3 \quad \Rightarrow \quad -2,3 \leq -11,180 \leq 11,3 \quad \text{— неверно}.$$

2. $x = -\sqrt{5} \approx -2,236$: $$-2,3 \leq -\sqrt{5} \leq 11,3 \quad \Rightarrow \quad -2,3 \leq -2,236 \leq 11,3 \quad \text{— верно}.$$

3. $x = \sqrt{5} \approx 2,236$: $$-2,3 \leq \sqrt{5} \leq 11,3 \quad \Rightarrow \quad -2,3 \leq 2,236 \leq 11,3 \quad \text{— верно}.$$

4. $x = 5\sqrt{5} \approx 11,180$: $$-2,3 \leq 5\sqrt{5} \leq 11,3 \quad \Rightarrow \quad -2,3 \leq 11,180 \leq 11,3 \quad \text{— верно}.$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $-\sqrt{5},\; \sqrt{5},\; 5\sqrt{5}.$

Ответ: а) $-5\sqrt{5},\; -\sqrt{5},\; \sqrt{5},\; 5\sqrt{5}.$

{б)} $-\sqrt{5},\; \sqrt{5},\; 5\sqrt{5}$.