Задание 26 № 12531: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

Небольшая шайба массой $m=10\ \text{г}$ , начав движение из нижней точки закреплённого вертикально гладкого кольца радиусом $R=0{,}14\ \text{м}$ , скользит по его внутренней поверхности. На высоте $h=0{,}18\ \text{м}$ она отрывается от кольца и совершает свободный полёт. Какую кинетическую энергию имела шайба в начале движения? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на шайбу в точке отрыва шайбы.

Колесо радиуса R катится по поверхности, скорость v внизу, высота h

Решение:

Тело на окружности радиуса с центром O, скорость u по касательной, сила тяжести mg

Обоснование

Систему отсчёта, связанную с Землёй, будем считать инерциальной

Шайба рассматривается как материальная точка, поскольку её размеры малы по сравнению с радиусом кольца, а вращением самой шайбы можно пренебречь.

На шайбу действует только сила тяжести и нормальная реакция опоры. Кольцо идеальное (гладкое), трения нет, сопротивление воздуха также не учитывается, поэтому работа непотенциальных сил отсутствует (сила реакции опоры перпендикулярна вектору скорости тела, поэтому ее работа равна нулю). Это позволяет применить закон сохранения механической энергии при движении шайбы по кольцу.

В момент отрыва шайбы от поверхности кольца нормальная реакция опоры становится равной нулю, а центростремительное ускорение обеспечивается только компонентой силы тяжести. Поэтому для определения скорости в момент отрыва и высоты используются законы механики для движения по окружности и второй закон Ньютона

На высоте $h$ в момент отрыва скорость шайбы равна $u$ . По закону сохранения механической энергии между нижней точкой и высотой $h$ : $E_{\text{мех}}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m u^{2}}{2}+m g h.$
При этой скорости центростремительное ускорение в инерциальной системе $Oxy$ , связанной с Землёй, равно $a_{\text{цс}}=\frac{u^{2}}{R}.$
В момент отрыва нормальная реакция опоры равна нулю; значит центростремительное ускорение создаётся только радиальной составляющей тяжести. По второму закону Ньютона: $m a_{\text{цс}}=m g \sin\alpha,$ где $\alpha$ — угол радиуса к вертикали.
Учитывая геометрию точки отрыва $\sin\alpha=\dfrac{h-R}{R}$ , исключим $a_{\text{цс}}$ и $u$ . Получим: $\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m g}{2}\,(h-R)+m g h =\frac{m g}{2}\,(3h-R).$ Следовательно начальная кинетическая энергия внизу $E_{\text{кин}}=\frac{m v^{2}}{2}=\frac{m g}{2}\,(3h-R).$

Подстановка чисел со страницы: $m=0{,}01\ \text{кг}$ , $g=10\ \text{м/с}^2$ , $h=0{,}18\ \text{м}$ , $R=0{,}14\ \text{м}$ : $E_{\text{кин}}=\frac{0{,}01\cdot 10}{2}\,(3\cdot 0{,}18-0{,}14) =0{,}5\,(0{,}54-0{,}14)=0{,}5\cdot 0{,}40=0{,}20/10=0{,}02\ \text{Дж}.$